实现支持编译时维度运算的数学向量模板

题目

实现支持编译时维度运算的数学向量模板

信息

• 类型：问答
• 难度：⭐⭐⭐

考点

可变参数模板, 编译时计算, SFINAE/概念约束, 表达式模板, 元编程优化

快速回答

实现要点：

• 使用std::index_sequence和折叠表达式处理维度运算
• 通过std::enable_if或C++20概念约束维度匹配
• 应用表达式模板优化向量运算性能
• 利用constexpr实现编译时计算
• 使用代理模式延迟求值避免临时对象

问题背景

在科学计算中，需要处理不同维度的数学向量（如3D图形中的Vec3，物理仿真中的VecN）。要求实现：

1. 支持任意维度的类型安全向量
2. 编译时检查维度匹配（如点积需相同维度）
3. 零开销的编译时维度运算（如范数计算）
4. 高性能的向量运算（避免临时对象）

核心实现

1. 基础向量模板

template<typename T, std::size_t N>
class Vec {
  std::array<T, N> data;
public:
  // 编译时获取维度
  static constexpr std::size_t dim = N; 

  // 元编程访问元素
  template<std::size_t I>
  constexpr T& get() noexcept { 
    static_assert(I < N, "Index out of range");
    return data[I];
  }

  // 编译时点积（使用折叠表达式）
  template<std::size_t M>
  constexpr auto dot(const Vec<T, M>& rhs) const {
    static_assert(N == M, "Dimension mismatch");
    return [<auto... Is>](std::index_sequence<Is...>) {
      return ((get<Is>() * rhs.template get<Is>()) + ...);
    }(std::make_index_sequence<N>{});
  }
};

2. 表达式模板优化

// 表达式代理
template<typename E>
class VecExpression {
public:
  constexpr auto operator[](std::size_t i) const { 
    return static_cast<const E&>(*this)[i];
  }
  constexpr std::size_t size() const { 
    return static_cast<const E&>(*this).size();
  }
};

// 向量加法（延迟求值）
template<typename E1, typename E2>
class VecAdd : public VecExpression<VecAdd<E1, E2>> {
  const E1& a;
  const E2& b;
public:
  VecAdd(const E1& a, const E2& b) : a(a), b(b) {
    assert(a.size() == b.size());
  }

  auto operator[](std::size_t i) const { return a[i] + b[i]; }
  constexpr std::size_t size() const { return a.size(); }
};

// 运算符重载
template<typename E1, typename E2>
auto operator+(const VecExpression<E1>& a, const VecExpression<E2>& b) {
  return VecAdd<E1, E2>(*static_cast<const E1*>(&a), 
                         *static_cast<const E2*>(&b));
}

最佳实践

• 维度检查：使用static_assert替代运行时assert
• 循环优化：用std::index_sequence展开编译时循环
• 内存布局：std::array保证连续内存
• 常量传播：标记constexpr支持编译时计算
• 接口设计：提供编译时(get<I>())和运行时(operator[])双接口

常见错误

扩展知识

• C++20概念：替代SFINAE实现更清晰的约束
  template<typename V> concept Vector = requires(V v) { v.size(); v[0]; };
• SIMD优化：通过__m128/__m256特化实现硬件加速
• 自动微分：结合表达式模板实现编译时求导
• CRTP模式：静态多态避免虚函数开销

完整示例

// 编译时范数计算
constexpr double norm() const {
  return std::sqrt(dot(*this));
}

// 使用示例
constexpr Vec<double, 3> v1{1.0, 2.0, 3.0};
constexpr Vec<double, 3> v2{4.0, 5.0, 6.0};
constexpr auto dp = v1.dot(v2);  // 编译时计算点积
static_assert(dp == 32.0);

auto v3 = v1 + v2;  // 表达式模板（无临时对象）
Vec<double, 3> v4 = v3;  // 实际计算发生在赋值时