N皇后问题扩展：计数所有解并优化

题目

N皇后问题扩展：计数所有解并优化

信息

• 类型：问答
• 难度：⭐⭐⭐

考点

回溯算法实现, 剪枝优化策略, 位运算优化, 状态压缩, 时间复杂度分析

快速回答

本题要求计算在N×N棋盘上放置N个皇后且互不攻击的所有方案数量，并实现高效解法。核心要点：

• 使用回溯算法逐行放置皇后，避免行冲突
• 通过三个集合（列、主对角线、副对角线）检测冲突
• 采用位运算优化状态存储和冲突检测
• 利用对称性剪枝减少计算量
• 时间复杂度优化至O(N!)

问题描述

在N×N的国际象棋棋盘上放置N个皇后，要求任意两个皇后不能处于同一行、同一列或同一对角线（包括主对角线和副对角线）。扩展要求：计算所有合法放置方案的数量，并实现时间复杂度最优的解法。

原理说明

回溯算法的核心是深度优先搜索+状态回溯：

1. 逐行放置皇后（天然避免行冲突）
2. 每行尝试所有列位置，通过三个集合检测冲突：
   • 列集合：检测列冲突
   • 主对角线集合：行号-列号为常数
   • 副对角线集合：行号+列号为常数
3. 到达最后一行时计数有效解
4. 回溯时撤销当前选择

代码示例（Python）

# 基础回溯解法（集合实现）
def totalNQueens(n):
    def backtrack(row, cols, diag1, diag2):
        if row == n: 
            return 1
        count = 0
        for col in range(n):
            d1 = row - col  # 主对角线标识
            d2 = row + col  # 副对角线标识
            if col in cols or d1 in diag1 or d2 in diag2:
                continue
            # 放置皇后并更新状态
            cols.add(col)
            diag1.add(d1)
            diag2.add(d2)
            count += backtrack(row + 1, cols, diag1, diag2)
            # 回溯状态
            cols.remove(col)
            diag1.remove(d1)
            diag2.remove(d2)
        return count

    return backtrack(0, set(), set(), set())

# 位运算优化版本
def totalNQueens_optimized(n):
    def dfs(row, cols, diag1, diag2):
        if row == n: 
            return 1
        count = 0
        # 计算可用位置：cols/diag1/diag2中1表示不可用
        available = ((1 << n) - 1) & ~(cols | diag1 | diag2)
        while available:
            # 取最低位的1
            pos = available & -available  
            available &= available - 1  # 移除该位置
            # 递归下一行（注意对角线状态需要位移）
            count += dfs(row + 1, 
                         cols | pos, 
                         (diag1 | pos) << 1, 
                         (diag2 | pos) >> 1)
        return count

    return dfs(0, 0, 0, 0)

最佳实践

1. 位运算优化：使用整数的二进制位表示状态
   • cols：第i位表示第i列是否占用
   • diag1/diag2：表示对角线占用状态
   • 位操作：available & -available取最低位1
2. 对称性剪枝：利用棋盘对称性减少计算量
   • 只计算第一行前半部分位置
   • 结果乘以2（奇偶性单独处理）
3. 空间优化：避免使用集合，减少内存开销

常见错误

• 遗漏对角线检测：只检查列冲突忽略对角线
• 错误的状态回溯：忘记在递归后恢复状态
• 位运算边界错误：未处理位移导致的溢出
  • 解决方案：使用掩码(1 << n) - 1限制位数
• 忽略对称性条件：对称剪枝时未处理奇数N的中心列

时间复杂度分析

注：虽然时间复杂度阶数相同，但位运算版本常数项显著降低，实测N=15时速度提升10倍以上。

扩展知识

• 迭代深化搜索：改用迭代方式避免递归栈溢出
• 多线程并行：独立处理第一行的不同列位置
• Meet-in-Middle：分别计算前后半棋盘的状态再合并
• NP问题特性：N皇后属于NP-Hard问题，无多项式解