社交网络中的大圈子合并统计

题目

社交网络中的大圈子合并统计

信息

• 类型：问答
• 难度：⭐⭐⭐

考点

并查集实现,路径压缩优化,按秩合并优化,动态连通性统计,复杂条件处理

快速回答

本题要求实现一个支持动态合并和特殊统计的并查集结构。核心要点：

• 使用带路径压缩和按大小合并优化的并查集
• 维护每个连通分量的大小和全局大圈子合并计数器
• 在合并时判断：当两个连通分量的大小都≥阈值k时，计数器加1
• 查询操作返回连通性和当前计数器值

时间复杂度：近似O(α(n))，空间复杂度O(n)

解析

问题分析

在社交网络场景中，需要高效处理动态朋友关系的合并与查询，并统计特定合并事件（两个大圈子的合并）。关键在于：

• 动态维护朋友圈的连通性
• 高效统计合并时两个圈子的大小
• 根据阈值k判断是否触发大圈子合并

核心原理

并查集（Union-Find）是解决动态连通性问题的经典数据结构，通过以下优化达到近似常数时间复杂度：

• 路径压缩：在查找根节点时扁平化路径
• 按大小合并：总是将小树连接到大树，保持较低树高
• 分量大小跟踪：额外维护每个连通分量的大小

代码实现

class EnhancedUnionFind:
    def __init__(self, n: int, k: int):
        self.parent = list(range(n))
        self.size = [1] * n  # 每个连通分量的大小
        self.big_merges = 0  # 大圈子合并计数器
        self.threshold = k   # 阈值k

    def find(self, x: int) -> int:
        # 路径压缩优化
        if self.parent[x] != x:
            self.parent[x] = self.find(self.parent[x])
        return self.parent[x]

    def union(self, a: int, b: int) -> None:
        rootA = self.find(a)
        rootB = self.find(b)
        if rootA == rootB:  # 已连通
            return

        # 按大小合并优化：确保rootA是较大的树
        if self.size[rootA] < self.size[rootB]:
            rootA, rootB = rootB, rootA

        # 检查大圈子合并条件
        if self.size[rootA] >= self.threshold and self.size[rootB] >= self.threshold:
            self.big_merges += 1

        # 执行合并
        self.parent[rootB] = rootA
        self.size[rootA] += self.size[rootB]

    def query(self, a: int, b: int) -> (int, int):
        connected = 1 if self.find(a) == self.find(b) else 0
        return (connected, self.big_merges)

最佳实践

• 双优化结合：同时使用路径压缩和按大小合并，保证高效性
• 合并前判断：在改变数据结构前检查大圈子条件
• 避免重复计数：仅在真正合并不同分量时判断条件
• 封装查询：find操作自动进行路径压缩

常见错误

• 错误1：未在合并前判断连通性 → 导致重复计数
• 错误2：合并后未正确更新分量大小 → 导致后续判断错误
• 错误3：在路径压缩中破坏大小信息 → 应只在find中修改parent指针
• 错误4：阈值判断位置错误 → 必须在实际合并前判断原始大小

复杂度分析

• 时间复杂度：单次操作O(α(n))，α是反阿克曼函数，通常小于5
• 空间复杂度：O(n)存储parent和size数组

扩展知识

• 动态图连通性：并查集是处理增量图连通性的最优解
• Kruskal算法：并查集用于最小生成树的高效实现
• 带权并查集：可扩展维护节点间关系（如距离、奇偶性）
• 持久化并查集：通过按秩合并实现版本回溯
• 并行并查集：多线程环境下使用原子操作保证一致性